Question

5．某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動(dòng)：對(duì)首次消費(fèi)的顧客，按200元/次收費(fèi)，并注冊(cè)成為會(huì)員，對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下：

消費(fèi)次數(shù)	第1次	第2次	第3次	第4次	≥5次
收費(fèi)比例	1	0.95	0.90	0.85	0.80

該公司從注冊(cè)的會(huì)員中，隨機(jī)抽取了100位統(tǒng)計(jì)他們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：

消費(fèi)次數(shù)	1次	2次	3次	4次	5次
頻數(shù)	60	20	10	5	5

假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：
（Ⅰ）估計(jì)該公司一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率；
（Ⅱ）某會(huì)員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)；
（Ⅲ）假設(shè)每個(gè)會(huì)員最多消費(fèi)5次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會(huì)員服務(wù)的平均利潤(rùn)為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率，得出概率；
（II）根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算平均利潤(rùn)；
（III）求出各種情況對(duì)應(yīng)的X的值和概率，得出分布列，從而計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）隨機(jī)抽取的100位會(huì)員中，至少消費(fèi)兩次的會(huì)員有20+10+5+5=40，
∴該公司一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率為P=$\frac{40}{100}$=$\frac{2}{5}$．
（II）第一次消費(fèi)時(shí)，公司獲取利潤(rùn)為200-150=50元，
第二次消費(fèi)時(shí)，公司獲取利潤(rùn)為200×0.95-150=40元，
∴求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)為$\frac{50+40}{2}$=45元．
（III）若會(huì)員消費(fèi)1次，平均利潤(rùn)為50元，
若會(huì)員消費(fèi)2次，平均利潤(rùn)為45元，
若會(huì)員消費(fèi)3次，平均利潤(rùn)為為40元，
若會(huì)員消費(fèi)4次，平均利潤(rùn)為35元，
若會(huì)員消費(fèi)5次，平均利潤(rùn)為30元，
∴X的可能取值為50，45，40，35，30，
∴P（X=50）=$\frac{3}{5}$，P（X=45）=$\frac{1}{5}$，P（X=40）=$\frac{1}{10}$，
P（X=35）=$\frac{1}{20}$，P（X=30）=$\frac{1}{20}$．
∴X的分布列為：

X	50	45	40	35	30
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴E（X）=50×$\frac{3}{5}$+45×$\frac{1}{5}$+40×$\frac{1}{10}$+35×$\frac{1}{20}$+30×$\frac{1}{20}$=46.25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望計(jì)算，屬于中檔題．