Question

（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，，、分別是，的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面平面；

（3）若，，求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題以直三棱柱為幾何背景，考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、線面平行、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力. 第一問，先利用中，EF為中位線，得出，再利用線面平行的判定得平面；第二問，結(jié)合第一問，而利用平面線面垂直的性質(zhì)，可得，由于，所以得，所以利用線面垂直的判定得平面，最后利用面面垂直的判定得平面平面；第三問，利用等體積轉(zhuǎn)化法將轉(zhuǎn)化為，再計(jì)算體積.

試題解析：（1）連結(jié)，∵直三棱柱中，四邊形是矩形，

∴點(diǎn)在上，且為的中點(diǎn)．

在中，∵ E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)， 故． 2分

又∵平面，平面，∴平面 4分

（2）在直三棱柱中，平面，∴ 6分

由（1）知，且，則

∵，∴平面 9分

又∵平面，∴平面平面 10分

（3） 12分

14分

考點(diǎn)：線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、線面平行、三棱錐的體積.