Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明，若f(n)=1+++…+,則n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N₊).

Answer 1

思路解析：(1)當(dāng)n=2時，左邊=2+f(1)=2+1=3,

右邊=2·f(2)=2×(1+)=3,左邊=右邊，等式成立.

（2）假設(shè)n=k時等式成立，即

k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k).

由已知條件可得f(k+1)=f(k)+,

右邊=(k+1)·f(k+1)（先寫出右邊，便于左邊對照變形）.

當(dāng)n=k+1時，左邊=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)

=［k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)］+1+f(k)(湊成歸納假設(shè))

=kf(k)+1+f(k)(利用假設(shè))

=（k+1）·f(k)+1

=(k+1)·［f(k+1)-］+1

=(k+1)·f(k+1)=右邊.

∴當(dāng)n=k+1時，等式也成立.

由（1）（2）可知，對一切n≥2的正整數(shù)等式都成立.