Question

已知命題p：“對(duì)任意x∈R，都有x²+2x+a＞0恒成立”與命題q：“存在x∈R，x²+ax+4=0”都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：P為真，則是一個(gè)二次不等式恒成立問(wèn)題，結(jié)合圖象只需判別式小于0即可；
Q為真，即關(guān)于x的一元二次方程有解，只需判別式大于或等于0即可；
因?yàn)槎紴檎�，所以取兩者的交集即為所求�?/div>

解答： 解：對(duì)于命題P：因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有x²+2x+a＞0恒成立，
所以，二次函數(shù)y=x²+2x+a的圖象都在x軸上方，
因此只需△=4-4a＜0，解得a＞1①；
對(duì)于命題Q：因?yàn)榇嬖趚∈R，x²+ax+4=0，
所以方程x²+ax+4=0有實(shí)數(shù)根，
所以只需△=a²-4×4≥0，解得a≤-4或a≥4②；
若P，Q都是真命題，則①②式同時(shí)成立，聯(lián)立①②
解得a≥4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了不等式恒成立、一元二次方程根的存在性問(wèn)題的解決方法，一般要運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合的思想求解，因此需要充分理解三個(gè)“二次”之間的關(guān)系．