Question

11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1-（3+x）ⁿ（n∈N^*）能被x+2整除．

Answer 1

分析 先驗(yàn)證n=1時，結(jié)論成立，再假設(shè)n=k時結(jié)論成立，利用因式分解推導(dǎo)n=k+1時，結(jié)論成立即可．

解答 證明：當(dāng)n=1時，1-（3+x）ⁿ=1-（3+x）=-2-x=-（2+x），∴1-（3+x）能被x+2整除，
假設(shè)當(dāng)n=k時，1-（3+x）^k能被x+2整除，即1-（3+x）^k=m（x+2），m∈Z．
則n=k+1時，1-（3+x）^k+1=1-（3+x）^k（3+x）=3-3（3+x）^k-x（3+x）^k+x-x-2
=3[1-（3+x）^k]-x[（3+x）^k-1]-（x+2）
=3m（x+2）+mx（x+2）-（x+2）
=（x+2）（3m+mx-1）．
∴當(dāng)n=k+1時，1-（3+x）^k+1能被x+2整除．
綜上，1-（3+x）ⁿ（n∈N^*）能被x+2整除．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的證明，掌握證明步驟，將n+1次因式分解成n次因式湊數(shù)是證明的關(guān)鍵．