【題目】已知矩形EFMN，，，以EF的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，若橢圓以E，F為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與相交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形，若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1) ；(2) 或

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義求解標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

(2)先假設(shè)軸上存在點(diǎn)使得為等邊三角形,設(shè)中點(diǎn)為,再根據(jù)幾何關(guān)系可知,再聯(lián)立直線與橢圓方程,利用弦長(zhǎng)公式等列式計(jì)算即可.

(1)設(shè)橢圓的方程為,,

則根據(jù)題意有,由橢圓的定義有,

,故,所以.

故橢圓的方程為.

(2) 假設(shè)軸上存在點(diǎn)使得為等邊三角形,設(shè).

中點(diǎn)為,則,.

聯(lián)立 ,整理得.

則,解得.

由韋達(dá)定理得,,

故,

又,,即,則直線的方程為,令,可得,即.

又因?yàn)?/span>,故,

即 .解得,滿足.

故軸上存在點(diǎn)使得為等邊三角形,此時(shí)或

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開(kāi)設(shè)游泳選修課，為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對(duì)100名高一新生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計(jì)

男生

10

女生

20

合計(jì)

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為．

（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？并說(shuō)明你的理由；

（3）已知在被調(diào)查的學(xué)生中有5名來(lái)自甲班，其中3名喜歡游泳，現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好有1人喜歡游泳的概率．

下面的臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

C.的最大值為

D.既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，若橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（Ⅰ）若的圖像在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4），求的值；

（Ⅱ）若，求證： ；

（Ⅲ）當(dāng)函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）已知直線：，：若直線與關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)在處的切線與平行，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為增強(qiáng)市民交通規(guī)范意識(shí),我市面向全市征召勸導(dǎo)員志愿者,分布于各候車亭或十字路口處．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示．

分組（單位：歲）

頻數(shù)

頻率

5

①

②

合計(jì)

（1）頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖）,再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30,35)歲的人數(shù)；

（2）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加“規(guī)范摩的司機(jī)的交通意識(shí)”培訓(xùn)活動(dòng),從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖在棱錐中，為矩形，面，

（1）在上是否存在一點(diǎn)，使面，若存在確定點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3，拋物線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝4．線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn) C．

（1）求拋物線E的方程；

（2）求△ABC面積的最大值．

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