Question

10．為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，研究居民的休閑方式與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80名居民，得到下面的數(shù)據(jù)表：

休閑方式 性別	看電視	運(yùn)動(dòng)	合計(jì)
女	10	10	20
男	10	50	60
總計(jì)	20	60	80

（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？
（Ⅱ）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的3人以運(yùn)動(dòng)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X．求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)樣本提供的2×2列聯(lián)表，計(jì)算K的觀測(cè)值K²，對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論；
（Ⅱ）由題意得：X～B（3，$\frac{5}{6}$），由此能求出X的數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（I）根據(jù)樣本提供的2×2列聯(lián)表得：
K²=60×20×20×6050×10-10×102=$\frac{80}{9}$≈8.889；…（2分）
K²＞6.635，
所以有99%的把握認(rèn)為“居民的休閑方式與性別有關(guān)”…（5分）
（Ⅱ）由題意得：X～B（3，$\frac{5}{6}$），
且 P（X=k）=${C}_{3}^{k}$（$\frac{1}{6}$）^3-k（$\frac{5}{6}$）^k，k=0，1，2，3…（8分）
所以，分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{125}{216}$

由服從X～B（n，p）的二項(xiàng)分布事件的期望E（X），E（X）=np=3×$\frac{5}{6}$=$\frac{5}{2}$，
E（X）=$\frac{5}{2}$，∴…（10分）
DX=np（1-p）=3×$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{12}$．
∴DX=$\frac{5}{12}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，獨(dú)立性檢驗(yàn)是考查兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確的給出這種判斷的可靠程度的一種重要的統(tǒng)計(jì)方法，主要是通過(guò)K²的觀測(cè)值與臨界值的比較解決的，屬于中檔題．