Question

平面內(nèi)有向量

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），

OP

=（2，1），點(diǎn)X為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)

XA

•

XB

取最小值時(shí)，求

OX

的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)X滿足（1）的條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠AXB的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)X在直線OP上，向量

OX

與

OP

共線，可以得到關(guān)于

OX

坐標(biāo)的一個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)

XA

•

XB

的最小值，求得

OX

的坐標(biāo)，
（2）cos∠AXB是

XA

與

XB

夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識(shí)易解決．

解答：解：（1）設(shè)

OX

=（x，y），
∵點(diǎn)X在直線OP上，∴向量

OX

與

OP

共線．
又

OP

=（2，1），∴x-2y=0，即x=2y．
∴

OX

=（2y，y）．又

XA

=

OA

-

OX

，

OA

=（1，7），
∴

XA

=（1-2y，7-y）．
同樣

XB

=

OB

-

OX

=（5-2y，1-y）．
于是

XA

•

XB

=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12=5（y-2）²-8．
∴當(dāng)y=2時(shí)，

XA

•

XB

有最小值-8，此時(shí)

OX

=（4，2）．
（2）當(dāng)

OX

=（4，2），即y=2時(shí)，有

XA

=（-3，5），

XB

=（1，-1）．
∴|

XA

|=

34

，|

XB

|=

2

．
∴cos∠AXB=

XA • XB

| XA || XB |

=-

4 17

17

．

點(diǎn)評(píng)：（1）中求最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，以構(gòu)造函數(shù)；也可以利用

XA

與

XB

反向時(shí)，

XA

•

XB

有最小值進(jìn)行求解．而（2）中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用．