Question

已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù).

（1）求的表達式；

（2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的值；

（3）是否存在實數(shù)使得關于的方程在區(qū)間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，若存在，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)=(1+x)²-ln(1+x)²；（2）m＞e²-2；（3）2-2ln2＜b≤3-2ln3.

【解析】第一問中，利用f′(x)=2(1+x)- 依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù)，在（-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.

代入方程解得a=1,

故求得解析式

第二問中，當時，不等式恒成立，只需要求解f(x)的最大值滿足即可。第三問中，若存在實數(shù)b使得條件成立，方程f(x)=x²+x+b

即為x-b+1-ln(1+x)²=0,構造函數(shù)令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,

求導得到結論。

解 （1）∵f′(x)=2(1+x)-=2·,

依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù)，在（-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².

(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,

令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2.

（由于x∈，故x₂=-2舍去），

易證函數(shù)在上單調遞減，

在［0，e-1］上單調遞增，

且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2,

故當x∈時，f(x)_max=e²-2,

因此若使原不等式恒成立只需m＞e²-2即可.

（3）若存在實數(shù)b使得條件成立，

方程f(x)=x²+x+b，即為x-b+1-ln(1+x)²=0,

令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,

則g′(x)=1-=,

令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,

令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,

故g(x)在［0，1］上單調遞減，在［1，2］上單調遞增，要使方程f(x)=x²+x+b在區(qū)間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，只需g(x)=0在區(qū)間［0，1］和［1，2］上各有一個實根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,

故存在這樣的實數(shù)b,當2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件.