已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點,橢圓的一個頂點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形,且|
F1F2
|=2.
(1)求橢圓方程;
(2)對于x軸上的某一點T,過T作不與坐標(biāo)軸平行的直線L交橢圓于P、Q兩點,若存在x軸上的點S,使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立,我們稱S為T的一個配對點,當(dāng)T為左焦點時,求T 的配對點的坐標(biāo);
(3)在(2)條件下討論當(dāng)T在何處時,存在有配對點?
分析:(1)設(shè)橢圓的頂點為P,由|
F1F2
|=2=2c可得c=1,由PF1=PF2=2結(jié)合橢圓的定義可得2a,結(jié)合b2=a2-c2可求橢圓的方程
(2)可設(shè)過T的直線方程為y=k(x+1),(k≠0),聯(lián)立橢圓方程整理可得(3+4k2)x2+8k2x+4(k2-3)=0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),S (a,0),由∠PST=∠QST 可得kPS=-KQS
y1
x1-a
+
y2
x2- a
=0
,結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求a
(3)設(shè)T(x0,0),直線PQ的方程y=k(x-x0),S (a,0),使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立,則T必須在P,Q 之間即-2<x0<2
同(2)的整理方法,聯(lián)立直線與橢圓方程由∠PST=∠QST可得,2x1x2-(a+x0)(x1+x2)+2ax0=0,同(2)的方法一樣代入可求
解答:解:(1)設(shè)橢圓的頂點為P,由|
F1F2
|=2=2c可得c=1
PF1=PF2=2可得2a=4
∴a=2,b2=a2-c2=3
橢圓的方程為:
x2
4
+
y2
3
=1

(2)∵T(-1,0),
則過可設(shè)過T的直線方程為y=k(x+1),(k≠0),
聯(lián)立橢圓方程整理可得(3+4k2)x2+8k2x+4(k2-3)=0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),S (a,0),則x1+x2=-
8k2
3+4k2
x1x2=
4(k2-3)
3+4k2

∵∠PST=∠QST∴kPS=-KQS
y1
x1-a
+
y2
x2- a
=0

k(x1+1)
x1-a
+
k(x2+1)
x2-a
=0

整理可得2x1x2+(1-a)(x1+x2)-2a=0
8(k2-3)
3+4k2
+
8k2(a-1)
3+4k2
-2a=0

∴a=-4
(3)設(shè)T(x0,0),直線PQ的方程y=k(x-x0),S (a,0)
使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立,則T必須在P,Q 之間即-2<x0<2
同(2)的整理方法,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,x1+x2=
8k2x0
3+4k2
,x1x2=
4(k2-3)
3+4k2

由∠PST=∠QST可得,2x1x2-(a+x0)(x1+x2)+2ax0=0
同(2)的方法一樣代入可求a=
4
x0
點評:本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程,及直線與橢圓的相交關(guān)系的 應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是具備一定的邏輯推理與運算的能力.
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2
2
,且橢圓經(jīng)過圓C:x2+y2-4x+2
2
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2
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2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓方程;
(2)直線y=x+1與橢圓交于點A,B.求△AOB的面積.

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