Question

（2013•紅橋區(qū)二模）已知等比數(shù)列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=21og₃a_n，求證：數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列；
（3）是否存在非零整數(shù)λ，使不等式λ(1-

1

b1

)(1-

1

b2

)…(1-

1

bn

)(-1)n=1＜

1

bn+1

．對(duì)一切，n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接由3a₂、2a₃、a₄成等差數(shù)列列式求出公比q的值，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=21og₃a_n整理即可得到結(jié)論；
（3）令cn=

1

(1- 1 b1 )(1- 1 b2 )…(1- 1 bn ) bn+1

，則不等式等價(jià)于（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n，作比后得到數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，分n的奇偶性求出數(shù)列{c_n}的最小值，從而得到結(jié)論．

解答：解：（1）由3a₂，2a₃，a₄ 成等差數(shù)列，
所以4a₃=a₄+3a₂，即4a1q2=a1q3+3a1q．∵a₁≠0，q≠0，
∴q²-4q+3=0，即（q-1）（q-3）=0．
∵q≠1，∴q=3，
由a₁=3，得an=a1qn-1=3n；
（2）∵an=3n，∴bn=2log33n=2n．
得b_n-b_n-1=2．
∴{b_n}是首項(xiàng)為9，公差為2的等差數(shù)列；
（3）由b_n=2n，
設(shè)cn=

1

(1- 1 b1 )(1- 1 b2 )…(1- 1 bn ) bn+1

，則不等式等價(jià)于（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n．

cn+1

cn

=

bn+1

(1- 1 bn+1 ) bn+1+1

=

2n+1

(1- 1 2n+2 ) 2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1．
∵c_n＞0，∴c_n+1＞c_n，數(shù)列{c_n}單調(diào)遞增．
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)λ，使的不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n對(duì)一切n∈N^*都成立，則
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得λ＜(cn)min=c1=

2 3

3

；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得-λ＜(cn)min=c2=

8 5

15

，即λ＞-

8 5

15

．
綜上，λ∈(-

8 5

15

，

2 3

3

)，由λ是非零整數(shù)，知存在λ=±1滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．