Question

已知點p為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點，過點p作雙曲線的漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于M，N兩點，若|PM|•|PN|=b²，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用特殊值法，設P（a，0），根據(jù)條件中過點P的直線與漸近線平行建立方程關系，即可得到結論．

解答： 解：設P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上任一點，不妨設P（a，0）
雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

x．
則：與漸近線平行的過P點的直線為：y=±

b

a

(x-a)
由已知條件：

y= b a x y=- b a (x-a)

解得：

x= a 2 y= b 2

即M（

a

2

，

b

2

）
同理：

y=- b a x y= b a (x-a)

解得：

x= a 2 y=- b 2

即N（

a

2

，-

b

2

）
由：|PM|•|PN|=b²，
得到：

a2

4

+

b2

4

=b2
解得：a²=3b²
即：a=

3

b
又c²=a²+b²=4b²
所以：c=2b
進一步：e=

c

a

=

2b

3 b

=

2 3

3

故答案為：

2 3

3

點評：本題考查的知識要點：雙曲線的漸近線方程的應用，雙曲線中a、b、c的關系，離心率的應用．屬于基礎題型．