【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= +bx(a≠0)
(Ⅰ)若a=﹣2時,函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,設(shè)φ(x)=e2x+bex , x∈[0,ln2],求函數(shù)φ(x)的最小值;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N,問是否存在點R,使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】解:(I)依題意:h(x)=lnx+x2﹣bx. ∵h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
∴ 對x∈(0,+∞)恒成立,
∴ ,∵x>0,則 .
∴b的取值范圍是 .
(II)設(shè)t=ex , 則函數(shù)化為y=t2+bt,t∈[1,2].
∵ .
∴當(dāng) ,即 時,函數(shù)y在[1,2]上為增函數(shù),
當(dāng)t=1時,ymin=b+1;當(dāng)1<﹣ <2,即﹣4<b<﹣2時,當(dāng)t=﹣ 時, ;
,即b≤﹣4時,函數(shù)y在[1,2]上是減函數(shù),
當(dāng)t=2時,ymin=4+2b.
綜上所述:
(III)設(shè)點P、Q的坐標(biāo)是(x1 , y1),(x2 , y2),且0<x1<x2 .
則點M、N的橫坐標(biāo)為 .
C1在點M處的切線斜率為 .
C2在點N處的切線斜率為 .
假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則k1=k2 .
即 .則
= ,
∴ 設(shè) ,則 ,(1)
令 ,則 ,
∵u>1,∴r′(u)>0,
所以r(u)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
故r(u)>r(1)=0,則 ,與(1)矛盾!
【解析】(I)根據(jù)a=﹣2時,函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),知道h′(x)在其定義域內(nèi)大于等于零,得到一個關(guān)于b的不等式,解此不等式即得b的取值范圍;(II)先設(shè)t=ex , 將原函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù),最后將原函數(shù)φ(x)的最小值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題即可;(III)先假設(shè)存在點R,使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率進而得出切線的方程,后利用斜率相等求出R的橫坐標(biāo),如出現(xiàn)矛盾,則不存在;若不出現(xiàn)矛盾,則存在.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3 .
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(Ⅱ)令Cn= 設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和Tn , 求T2n .
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【題目】已知函數(shù).
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若定義域為,解不等式.
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【題目】某港口水的深度y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作y=f(t).下面是某日水深的數(shù)據(jù):
t/h | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y/m | 10 | 13 | 10 | 7 | 10 | 13 | 10 | 7 | 10 |
經(jīng)長期觀察,y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)的圖象.一般情況下,船舶航行時,船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的(船舶?繒r,船底只需不碰海底即可).
(1)求y與t滿足的函數(shù)關(guān)系式;
(2)某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m,如果該船希望在同—天內(nèi)安全進出港,請問該船在什么時間段能夠安全進港?它同一天內(nèi)最多能在港內(nèi)停留多少小時?(忽略進 出港所需的時間).
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【題目】x,y 滿足約束條件 ,若 z=y﹣ax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù) a 的值為( )
A. 或﹣1
B.2 或
C.2 或1
D.2 或﹣1
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【題目】袋內(nèi)裝有6個球,每個球上都記有從1到6的一個號碼,設(shè)號碼為n的球重克,這些球等可能地從袋里取出(不受重量、號碼的影響).
(1)如果任意取出1個球,求其重量大于號碼數(shù)的概率;
(2)如果不放回地任意取出2個球,求它們重量相等的概率.
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【題目】已知函數(shù) f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1(ω>0)的周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在上的值域.
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【題目】已知△ABC的外接圓半徑為1,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acos A=ccos B+bcos C.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若b2+c2=7,求△ABC的面積.
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【題目】從裝有n+1個球(其中n個白球,1個黑球)的口袋中取出m個球(0<m≤n,m,n∈N),共有 種取法.在這 種取法中,可以分成兩類:一類是取出的m個球全部為白球,共有 種取法;另一類是取出的m個球有m﹣1個白球和1個黑球,共有 種取法.顯然 ,即有等式: 成立.試根據(jù)上述思想化簡下列式子: = .
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