（本題滿分14分）如圖，已知平面平面，與分別是棱長為1與2的正三角形，//，四邊形為直角梯形，//，，點為的重心，為中點，，

（Ⅰ）當時，求證：//平面

（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.

 

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值.

【解析】（1）只須證：連接AG并延長交CE于P點，連接PB，PD，易證NPDF為平行四邊形，然后根據(jù)平行線分分段成比例關(guān)系證DM//PF即可.

(2) 由于本小題建系比較容易，所以易采用空間向量法求二面角即可.先求出二面角兩個面的法向量，然后根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補進行計算.

（Ⅰ）連延長交于，

因為點為的重心，所以

又，所以，所以//；

因為//，//，所以平面//平面，

又與分別是棱長為1與2的正三角形，

為中點，為中點, //,又//，

所以//，得四點共面

//平面

（Ⅱ）平面平面，易得平面平面，

以為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，

則，設(shè)，

，

，

因為與所成角為，所以，

得，，，

設(shè)平面的法向量，則，取，

面的法向量，

所以二面角的余弦值.

 

練習冊系列答案
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   （1）求證：；

   （2）當E是棱CC1中點時，求證：CF//平面AEB1；

   （3）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由。

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（本題滿分14分）如圖，正方形、的邊長都是1，平面平面，點在上移動，點在上移動，若（）

（I）求的長；

（II）為何值時，的長最��；

（III）當的長最小時，求面與面所成銳二面角余弦值的大小.

 

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   （1）求證：EF//平面ABC；

   （2）求證：平面平面C1CBB1；

   （3）求異面直線AB與EB1所成的角。

 

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