在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試中,規(guī)定每人最多投3次.每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.在A處每投進(jìn)一球得3分,在B處每投進(jìn)一球得2分,否則得0分.將學(xué)生得分逐次累加并用ξ表示,如果ξ的值不低于3分就認(rèn)為通過(guò)測(cè)試,立即停止投籃,否則繼續(xù)投籃,直到投完三次為止.投籃的方案有以下兩種:方案1:先在A處投一球,以后都在B處投:方案2:都在B處投籃.甲同學(xué)在A處投籃的命中率為0.5,在B處投籃的命中率為0.8.
(1)當(dāng)甲同學(xué)選擇方案1時(shí).
①求甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分等于4的概率:
②求甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ;
(2)你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性更大?說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,不中為事件,在B處投中為事件B,不中為事件.則事件A,B相互獨(dú)立,
①求甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分等于4可記著事件BB,由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì),能求出甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分等于4的概率.
②根據(jù)上面的做法,做出分布列中四個(gè)概率的值,寫(xiě)出分布列算出期望,過(guò)程計(jì)算起來(lái)有點(diǎn)麻煩,不要在數(shù)字運(yùn)算上出錯(cuò).
(2)甲同學(xué)選擇1方案通過(guò)測(cè)試的概率為P1,選擇2方案通過(guò)測(cè)試的概率為P2,利用分布列可得P1=P(ξ≥3)和P2=P()+P()+P(BB)的大小,再比較P2,P1的大小,從而得出結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,不中為事件,
在B處投中為事件B,不中為事件.則事件A,B相互獨(dú)立,
①求甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分等于4可記著事件BB,
則P(BB)=P()P(B)P(B)=0.5×0.8×0.8=0.32;
②甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分ξ的可能值為0,2,3,4.
則P(ξ=0)=P()=P()P()P()=0.5×0.2×0.2=0.02,
P(ξ=2)=P(B)+P(B)
=P()P(B)P()+P()P()P(B)
=0.5×0.8×0.2+0.5×0.2×0.8=0.16,
P(ξ=3)=P(A)=0.5,
P(ξ=4)=P()=P()P(B)P(B)=0.5×0.8×0.8=0.32,
分布列為:

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=0×0.02+2×0.16+3×0.5+4×0.32=3.1;
(2)甲同學(xué)選擇1方案通過(guò)測(cè)試的概率為P1,選擇2方案通過(guò)測(cè)試的概率為P2
則P1=P(ξ≥3)=0.5+0.32=0.82,
P2=P()+P()+P(BB)=2×0.8×0.2+0.8×0.8=0.896,
∵P2>P1,∴甲同學(xué)選擇1方案通過(guò)測(cè)試的可能性更大.
點(diǎn)評(píng):本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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ξ 0 2   3 4 5
 p 0.03   0.24 0.01 0.48 0.24
(1)求q2的值;
(2)求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ;
(3)試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大。

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1
3
1
2
.兩人共投籃3次,且第一次由甲開(kāi)始投籃.假設(shè)每人每次投籃命中與否均互不影響.
(Ⅰ)求3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率;
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①求甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分等于4的概率:
②求甲同學(xué)測(cè)試結(jié)束后所得總分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ;
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  ξ 0 2    3    4    5
        p 0.03    P1    P2 P3 P4
(1)求q2的值;
(2)求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.

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(1)寫(xiě)出ξ值所有可能的值;
(2)求q2的值;
(3)求得到總分最大值的概率.

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