已知函數(shù)f(x)=a|x|+
2ax
(a>0,a≠1),
(1)若a>1,且關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個不同的正數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(-x),x∈[-2,+∞),g(x)滿足如下性質(zhì):若存在最大(。┲,則最大(。┲蹬ca無關(guān).試求a的取值范圍.
分析:(1)令ax=t,將“方程f(x)=m有兩個不同的正數(shù)解”轉(zhuǎn)化為:“關(guān)于t的方程t+
2
t
=m
有相異的且均大于1的兩根”,即關(guān)于t的方程t2-mt+2=0有相異的且均大于1的兩根,求解.
(2)根據(jù)題意有g(shù)(x)=a|x|+2ax,x∈[-2,+∞),根據(jù)指數(shù)函數(shù),分①當a>1時,②當0<a<1時,兩種情況分析,每種情況下,根據(jù)絕對值,再按照x≥0時和-2≤x<0兩種情況討論.最后綜合取并集.
解答:解:(1)令ax=t,x>0,
∵a>1,所以t>1,
∴關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個不同的正數(shù)解
轉(zhuǎn)化為:方程t+
2
t
=m
有相異的且均大于1的兩根,
△=m2-8>0
m
2
>1
12-m+2>0

解得2
2
<m<3
,
故實數(shù)m的取值范圍是(2
2
,3)

(2)g(x)=a|x|+2ax,x∈[-2,+∞)
①當a>1時,
x≥0時,ax≥1,g(x)=3ax,所以g(x)∈[3,+∞),
-2≤x<0時,
1
a2
ax<1
,g(x)=a-x+2ax,所以g′(x)=-a-xlna+2axlna=
2(ax)2-1
ax
lna

ⅰ當
1
a2
1
2
1<a<
42
時,對?x∈(-2,0),g′(x)>0,所以g(x)在[-2,0)上遞增,
所以g(x)∈[a2+
2
a2
,3)

綜上:g(x)有最小值為a2+
2
a2
與a有關(guān),不符合(10分)
ⅱ當
1
a2
1
2
a≥
42
時,由g′(x)=0得x=-
1
2
loga2
,
且當-2<x<-
1
2
loga2
時,g′(x)<0,
-
1
2
loga2<x<0
時,g′(x)>0,
所以g(x)在[-2,-
1
2
loga2]
上遞減,在[-
1
2
loga2,0]
上遞增,
所以g(x)min=g(-
1
2
loga2)
=2
2

綜上:g(x)有最小值為2
2
與a無關(guān),符合要求.
②當0<a<1時,
a)x≥0時,0<ax≤1,g(x)=3ax,所以g(x)∈(0,3]
b)-2≤x<0時,1<ax
1
a2
,g(x)=a-x+2ax,
所以g′(x)=-a-xlna+2axlna=
2(ax)2-1
ax
lna
<0,g(x)在[-2,0)上遞減,
所以g(x)∈(3,a2+
2
a2
]

綜上:a)b)g(x)有最大值為a2+
2
a2
與a有關(guān),不符合
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是a≥
42
點評:本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用,主要涉及了方程的根,函數(shù)的最值等問題,還考查了分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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