Question

11．在一個(gè)圓心為O，半徑為R半圓形鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取能使這個(gè)矩形的面積最大？

Answer 1

分析 設(shè)∠AOB=θ且θ為銳角，半圓的半徑為R，用θ參數(shù)表示出矩形的面積S=R²sin（2∠BOA）．再求出S的最大值即可．

解答 解：設(shè)∠AOB=θ且θ為銳角，半圓的半徑為R，則|AB|=Rsinθ
DA=2|AO|=2Rcosθ
∴這個(gè)矩形的面積為：S=2Rcos∠BOA×Rsin∠BOA=R²sin（2∠BOA）
因此當(dāng)sin（2∠BOA）=1時(shí)，S最大．
即∠BOA=$\frac{π}{4}$時(shí)，矩形面積最大，最大為R²
也就是當(dāng)AD=$\sqrt{2}R$，AB=$\frac{\sqrt{2}R}{2}$時(shí)矩形面積最大
故當(dāng)AD=$\sqrt{2}R$，AB=$\frac{\sqrt{2}R}{2}$時(shí)矩形面積最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶參數(shù)的三角形面積公式，三角函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，屬中檔題．