Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）當a=-1時，求函數的最值；
（2）求實數a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數；
（3）求y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）a=-1時，易求二次函數f（x）在閉區(qū)間上的最值；
（2）f（x）的圖象是拋物線，區(qū)間在對稱軸的一側時是單調函數；
（3）討論f（x）圖象的對稱軸在區(qū)間[-5，5]上，還是在區(qū)間左側，右側？從而求f（x）的最小值．

解答：解：（1）當a=-1時，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴當x=1時，f（x）min=f（1）=1；當x=-5時，f（x）_max=37；
（2）∵f（x）=x²+2ax+2的圖象是拋物線，且開口向上，對稱軸為x=-a；
∴當-a≤-5或-a≥5，即a≥5或a≤-5時，f（x）是單調函數；
（3）∵f（x）=x²+2ax+2的圖象是拋物線，開口向上，對稱軸為x=-a；
∴當a≥5時，f（x）在[-5，5]上是增函數；∴f（x）_min=f（-5）=27-10a；
當5＞a＞-5時，f（x）在[-5，5]上是先減后增的函數，∴f（x）_min=f（-a）=-a²+2
當a≤-5時，f（x）在[-5，5]上是減函數；∴f（x）_min=f（5）=27+10a；
所以，f（x）在[-5，5]上的最小值是：f（x）_min=

27-10a(a≥5) -a2+2(5＞a＞-5) 27+10a(a≤-5)

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點評：本題從多個角度考查了二次函數的單調性和最值問題，需要認真分析，分類討論后來解答問題．