Question

20．已知函數(shù)f（x）=2^x+x²-xln2-2，若函數(shù)g（x）=|f（x）|-log_a（x+2）（a＞1）在區(qū)間[-1，1]上有4個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． [3${\;}^{\frac{1}{1-ln2}}$，+∞）
• D． （2，3${\;}^{\frac{1}{1-ln2}}$]

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計算最值，做出y=|f（x）|與y=log_a（x+2）的函數(shù)圖象，根據(jù)交點個數(shù)得出不等式，從而解出a的范圍．

解答 解：f′（x）=2^x•ln2+2x-ln2=（2^x-1）ln2+2x，
∴當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，
令g（x）=0得|f（x）|=log_a（x+2），則y=|f（x）|與y=log_ax的函數(shù)圖象在[-1，1]上有4個交點，
作出y=|f（x）|與y=log_a（x+2）的大致圖象如圖所示：

∴l(xiāng)og_a3≤1-ln2，即$\frac{1}{lo{g}_{3}a}≤1-ln2$，解得a≥3${\;}^{\frac{1}{1-ln2}}$．
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值計算，屬于中檔題．