設(shè)an是關(guān)于x的方程xn+nx-1=0(n∈N*,x∈(0,+∞))的根.試證明:
(1)an∈(0,1);
(2)an+1<an
(3)a12+a22+…+an2<1.
分析:(1)設(shè)f(x)=xn+nx-1,由f(0)=-1<0,f(1)=n>0,且函數(shù)f(x)的圖象在(0,+∞)上是連續(xù)的,知f(x)在(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn),即方程xn+nx-1=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根,由此能夠證明an∈(0,1).
(2)法一:由f(
1
n
)=(
1
n
)n>0,f(
1
n+1
)=(
1
n+1
)n+
n
n+1
-1=(
1
n+1
)n-
1
n+1
≤0
,且函數(shù)f(x)的圖象在(0,+∞)上是連續(xù)的,知f(x)在[
1
n+1
,
1
n
)
內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),由函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,知方程xn+nx-1=0在[
1
n+1
,
1
n
)
內(nèi)有唯一根,由此能證明an+1<an.          (9分)
法二:由ann+nan-1=0,an+1n+1+(n+1)an+1-1=0,得:an+1n+1+(n+1)an+1-ann-nan=0,由此利用反證法能夠證明an+1<an
(3)由題設(shè)得a1=
1
2
,a12=
1
4
<1
,當(dāng)n∈N*時(shí),an=
1-ann
n
1
n
.故a12+a22<(
1
2
)2+(
1
2
)2=
1
2
<1
.由此能夠證明a12+a22+…+an2<1.
解答:證明:(1)設(shè)f(x)=xn+nx-1,
∵f(0)=-1<0,f(1)=n>0,
且函數(shù)f(x)的圖象在(0,+∞)上是連續(xù)的,
∴f(x)在(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn),
即方程xn+nx-1=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.(3分)
∵x∈(0,+∞),
∴f′(x)=nxn-1+n>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
∴方程xn+nx-1=0在(0,+∞)內(nèi)有唯一根,
且根在(0,1)內(nèi),即an∈(0,1).(5分)
(2)方法一:∵f(
1
n
)=(
1
n
)n>0,f(
1
n+1
)=(
1
n+1
)n+
n
n+1
-1=(
1
n+1
)n-
1
n+1
≤0
,
且函數(shù)f(x)的圖象在(0,+∞)上是連續(xù)的,
∴f(x)在[
1
n+1
,
1
n
)
內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),
即方程xn+nx-1=0在[
1
n+1
1
n
)
內(nèi)至少有一個(gè)根.
又由(1)知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴方程xn+nx-1=0在[
1
n+1
,
1
n
)
內(nèi)有唯一根,
1
n+1
an
1
n
.(8分)
1
n+2
an+1
1
n+1
,
∴an+1<an.          (9分)
方法二:由(1)知,ann+nan-1=0,
an+1n+1+(n+1)an+1-1=0,
兩式相減得:an+1n+1+(n+1)an+1-ann-nan=0,(7分)
若存在n∈N*,使得an+1≥an,
則an+1≥an>ann,
從而an+1n+1+(n+1)an+1-ann-nan>(n+1)an+1-ann-nan=an+1-ann+nan+1-nan>0,矛盾.
所以an+1<an.(9分)
(3)由題設(shè)得a1=
1
2
,a12=
1
4
<1
,
當(dāng)n∈N*時(shí),an=
1-ann
n
1
n

a12+a22<(
1
2
)2+(
1
2
)2=
1
2
<1
.         (12分)
當(dāng)n≥3時(shí)有a12+a22+a32+…+an2<(
1
2
)2+(
1
2
)2+(
1
3
)2+…
+(
1
n
)2

1
4
+
1
4
+
1
2•3
+
1
3•4
+
+
1
(n-1)n

=
1
4
+
1
4
+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…
+(
1
n-1
-
1
n
)

=1-
1
n
<1

綜上a12+a22+…+an2<1.               (14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,計(jì)算繁瑣,易出錯(cuò),是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意反證明法的靈活運(yùn)用,仔細(xì)解答,注意培養(yǎng)計(jì)算能力.
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