Question

雙曲線C：x²-

y2

b2

=1的右焦點為F，雙曲線過定點P（2，3）．
（1）求雙曲線C的方程及右準(zhǔn)線l方程；
（2）過右焦點F的直線（不過P點）與雙曲線交于A，B兩點，記PA，PB的斜率為k₁，k₂：若k₁+k₂＞2，求直線AB斜率的取值范圍，若直線AB與直線l交于M，記PM的斜率為k₃，若k₃=0，求k₁+k₂的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將點P代入雙曲線方程，即可得到雙曲線方程，從而求出右準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理，由直線的斜率公式，化簡整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范圍；先求M的坐標(biāo)，再由k₃=0，得到k，從而得到答案．

解答： 解：（1）將點P（2，3）代入C：x²-

y2

b2

=1，
得到4-

9

b2

=1，解得b²=3，
則雙曲線C的方程為：x²-

y2

3

=1，右準(zhǔn)線l：x=

1

2

；
（2）右焦點F（2，0），設(shè)直線AB：y=k（x-2），
聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，得

y=k(x-2) 3x2-y2=3

，
消去y，得，（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=

4k2

k2-3

，x₁x₂=

4k2+3

k2-3

，
而k₁+k₂=

y1-3

x1-2

+

y2-3

x2-2

=

k(x1-2)-3

x1-2

+

k(x2-2)-3

x2-2

=2k-3（

1

x1-2

+

1

x2-2

）
=2k-3•

x1+x2-4

x1x2+4-2(x1+x2)

=2k-3•

12

-9

=2k+4，
由于k₁+k₂＞2，即有2k+4＞2，解得k＞-1，
則直線AB斜率的取值范圍是：（-1，+∞）．
由于直線AB與直線l交于M，記PM的斜率為k₃，若k₃=0，
則由

x= 1 2 y=k(x-2)

得M（

1

2

，-

3

2

k），且-

3

2

k=3，解得k=-2．
故k₁+k₂=2k+4=2×（-2）+4=0．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理，同時考查直線的斜率公式，以及直線方程和交點問題，考查運算化簡能力，屬于綜合題．