Question

【題目】已知函數(shù)()，().

（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)上一點(diǎn)作的切線，判斷：可以作出多少條切線，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）2條切線，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化為：，要使得恒成立，即滿足的最小值大于0.

（2）設(shè)切點(diǎn)，則，對(duì)方程化簡(jiǎn)，判斷的個(gè)數(shù)即可，得出切線的條數(shù).

（1）令()

所以

令，解得. 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	-	0	+
	減	極小值	增

所以在的最小值為

令，解得.

所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立.

（2）可作出2條切線.

理由如下：當(dāng)時(shí)，.

設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，

則即

整理得

令，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與切點(diǎn)的個(gè)數(shù)一一對(duì)應(yīng).

，令解得.

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	-	0	+
	減	極小值	增

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

且

所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的解.

所以過(guò)點(diǎn)可作出的2條切線.