(2012•福建模擬)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2
2
,∠ABC=90°,如圖1.把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖2.
(Ⅰ)求證:CD⊥AB;
(Ⅱ)若點(diǎn)M為線(xiàn)段BC中點(diǎn),求點(diǎn)M到平面ACD的距離;
(Ⅲ)在線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60°?若存在,求出
BN
BC
的值;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)先證明CD⊥BD,利用平面ABD⊥平面BCD,可得CD⊥平面ABD,利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AB;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD的一個(gè)法向量為
n
=(1,0,-1)
,進(jìn)而可求點(diǎn)M到平面ACD的距離;
(Ⅲ)假設(shè)在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60°,設(shè)
BN
BC
, 0<λ<1
,可得
AN
=(1-2λ,2λ,-1)
,利用向量的夾角公式,建立方程,即可求得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:由已知條件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.…(2分)
∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD.
∴CD⊥平面ABD.…(3分)
又∵AB?平面ABD,∴CD⊥AB.…(4分)
(Ⅱ)解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),BD所在的直線(xiàn)為x軸,DC所在的直線(xiàn)為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0).
CD
=(0,-2,0),
AD
=(-1,0,-1)
.…(6分)
設(shè)平面ACD的法向量為
n
=(x,y,z)
,則
CD
n
,
AD
n
,∴
y=0
x+z=0

令x=1,得平面ACD的一個(gè)法向量為
n
=(1,0,-1)
,
∴點(diǎn)M到平面ACD的距離d=
|
n
MC
|
|
MC
|
=
2
2
.…(8分)
(Ⅲ)解:假設(shè)在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60°.…(9分)
設(shè)
BN
BC
, 0<λ<1
,則N(2-2λ,2λ,0),
AN
=(1-2λ,2λ,-1)
,
又∵平面ACD的法向量
n
=(1,0,-1)
且直線(xiàn)AN與平面ACD所成角為60°,
sin60°=
|
AN
n
|
|
AN
|•|
n
|
=
3
2
,…(11分)
可得8λ2+2λ-1=0,
λ=
1
4
或λ=-
1
2
(舍去).
綜上,在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)N,使AN與平面ACD所成角為60°,此時(shí)
BN
BC
=
1
4
.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在5場(chǎng)比賽的得分情況如莖葉圖所示,記甲、乙兩人的平均得分分別為
.
x
,
.
x
,則下列判斷正確的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是
3
2
,則正視圖中的x的值是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)已知平面向量
a
=(3,1)
,
b
=(x
,-3),且
a
b
,則x=
1
1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)若a=20.3,b=0.32,c=log0.32,則a,b.c的大小順序是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•福建模擬)已知函數(shù)f(x)=
log2x , x>0
3x+1 , x≤0
f(f(
1
4
))
的值是( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案