【題目】已知橢圓的離心率為,原點(diǎn)到橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線的距離為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)斜率存在且不為零的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),若線段的垂直平分線的縱截距為-1,求直線縱截距的取值范圍.

【答案】(1);(2).

【解析】

1)由離心率為,可以得到的關(guān)系,由原點(diǎn)到橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線的距離為,可以得到的關(guān)系,結(jié)合,求出,寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)出斜率存在且不為零的直線的直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,得到一個關(guān)于的一元二次方程,由根的判斷式大于零,得到一個不等式,設(shè)中點(diǎn),利用根與系數(shù)關(guān)系可以求出坐標(biāo),結(jié)合已知,通過斜率公式,可以得到,結(jié)合求出的不等式,可以求出直線縱截距的取值范圍.

解:(1)原點(diǎn)到橢圓上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線的距離為.

又離心率,又因?yàn)?/span>,

解得,所以橢圓方程為

(2)設(shè),直線的方程為:,

代入得:

,

于是得:

,

設(shè)中點(diǎn),則,

因?yàn)榫段的垂直平分線的縱截距為,所以線段的垂直平分線過點(diǎn),

所以,即

因?yàn)?/span>,所以, 所以,

代入

所以.

練習(xí)冊系列答案
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2)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);

3)現(xiàn)從被調(diào)查的問卷滿意度評分值在[60,80)的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談了解,再從這5人中隨機(jī)抽取2人作主題發(fā)言,求抽取的2人恰在同一組的概率.

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