Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若當x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求的取值范圍；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）無零點的概率；
（3）若對于任意的正整數(shù)k，當時，都有成立，則稱這樣f（x）是K₂函數(shù)，現(xiàn)有函數(shù)，試判斷g（x）是不是K₂函數(shù)？并給予證明．?

Answer 1

【答案】分析：（1）據(jù)f（x）≤0恒成立，由有得到，再觀察的結(jié)構(gòu)形式，可用線性規(guī)劃解決；
（2）據(jù)a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，可知這是一個幾何概型中的面積類型，總面積是直線a=±1，b=±1圍成的區(qū)域面積，當f（x）有零點時，則判斷式大于零，得到a²≥4b，滿足條件為，可用定積分求得有零點時的面積，從而求得有零  點時的概率，再用對立事件求得無零點時的概率；
（3）g（x）是K₂函數(shù)，按照定義證明即可．
解答：解：（1）據(jù)題意：∴
可行域如圖的幾何意義是定點P（2，5）到區(qū)域內(nèi)的點Q（a，b）連線的斜率k，的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）當f（x）有零點時，a²≥4b，滿足條件為
由拋物線的下方與a=±1，b=-1圍成的區(qū)域面積，，
由直線a=±1，b=±1圍成的區(qū)域面積S₂=4，
故f（x）有零點的概率，∴f（x）無零點的概率為；
（3）g（x）是K₂函數(shù)，
證明：符合條件，
因為，
同理：；
===，
所以，符合條件．
點評：本題主要考查線性規(guī)劃，（1）關鍵是確定約束條件和目標函數(shù)類型；（2）是結(jié)合概率來考查所圍成的平面圖形的面積；（3）是情境題，這樣題的解決要嚴格執(zhí)行給定的定義，結(jié)合已有的知識解決．