已知函數(shù)f(x)=
1+ln(x+1)x
和g(x)=x-1-ln(x+1)
(I)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?說明理由;
(II)求證:函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(2,3)上有唯一零點(diǎn);
(III)當(dāng)x>0時,不等式xf(x)>kg'(x)恒成立,其中g(shù)'(x)是g(x)導(dǎo)函數(shù),求正整數(shù)k的最大值.
分析:(I)先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=
1
x2
[
x
x+1
-1-ln(x+1)]=
-1
x2
[
1
x+1
+ln(x+1)]
,可以判斷f'(x)<0,從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù);
(II)可以證明g(x)在(2,3)上是增函數(shù),再利零點(diǎn)存在定理即可證明;
(III)利用分離參數(shù)法得k<
(x+1)[1+ln(x+1)]
x
,再求其最值即可.
解答:解:(I)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).
由于f′(x)=
1
x2
[
x
x+1
-1-ln(x+1)]=
-1
x2
[
1
x+1
+ln(x+1)]
…(2分)
∵x>0,∴x2>0,
1
x+1
>0,ln(x+1)>0

所以f'(x)<0故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).…(4分)
(II)因?yàn)?span id="n1orv2e" class="MathJye">g′(x)=1-
1
x+1
=
x
x+1
>0
所以g(x)在(2,3)上是增函數(shù)…(6分)
又g(2)=1-ln3<0,g(3)=2-ln4=2(1-ln2)>0
所以,函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(2,3)上有唯一零點(diǎn).…(8分)
(III)當(dāng)x>0時,不等式xf(x)>kg'(x)恒成立
k<
(x+1)[1+ln(x+1)]
x
對于x>0恒成立
設(shè)h(x)=
(x+1)[1+ln(x+1)]
x
,則h′(x)=
x-1-ln(x+1)
x2
…(9分)
由(II)知g(x)=x-1-ln(x+1)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),
且g(x)=0存在唯一實(shí)數(shù)根a,滿足a∈(2,3),即a=1+ln(a+1)…(10分)
由x>a時,g(x)>0,h'(x)>0;0<x<a時,g(x)<0,h'(x)<0
知h(x)(x>0)的最小值為h(a)=
(a+1)[1+ln(a+1)]
a
=a+1∈(3,4)

故正整數(shù)k的最大值為3.…(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用分離參數(shù)法求解恒成立問題,有一定的綜合性.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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