分析 (1)推導(dǎo)出BD⊥AC1,BD⊥DC,由此能證明BD⊥面AA1C1C.
(2)由DA1,DA,DB兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A1-AB-C1的正弦值.
解答 證明:(1)由題意,菱形ACC1A1中,AC=AA1=2,∠AA1C1=60°,
∴DA=DC1=1,DC=DA1=$\sqrt{3}$,
又∵△BAC1中,BA=BC1=2,∴BD⊥AC1,(三線合一),且BD=$\sqrt{3}$,
∴△BCD中,BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,
又∵DC?面AA1C1C,且DC∩AC1=D,
∴BD⊥面AA1C1C.
解:(2)由(1)知DA1,DA,DB兩兩垂直,
建立如圖空間直角坐標(biāo)系
A1($\sqrt{3},0,0$),A(0,1,0),
B(0,0,$\sqrt{3}$),C1(0,-1,0),
平面ABC1的一個法向量$\overrightarrow{m}$=(1,0,0),
設(shè)$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)是平面ABA1的一個法向量,
$\overrightarrow{AB}$=(0,-1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=($\sqrt{3}$,-1,0),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$,令y=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=(1,$\sqrt{3},1$),
設(shè)二面角A1-AB-C1為θ,則0°<θ<180°,
cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$,
sinθ=$\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{5}})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
點評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | π | B. | $\frac{π}{2}$ | C. | $\frac{3π}{8}$ | D. | $\frac{π}{16}$ |
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A. | -1 | B. | 1 | C. | 2 | D. | -2 |
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