7.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線與拋物線交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓與直線x=-1相切,則拋物線的方程為y2=4x.

分析 判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切,由已知得準線方程為x=-2,即可求拋物線的標準方程.

解答 解:取AB的中點M,分別過A、B、M作準線的垂線AP、BQ、MN,垂足分別為P、Q、N,如圖所示:
由拋物線的定義可知,|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|,
在直角梯形APQB中,|MN|=$\frac{1}{2}$(|AP|+|BQ|)=$\frac{1}{2}$(|AF|+|BF|)=$\frac{1}{2}$|AB|,
故圓心M到準線的距離等于半徑,
∴以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切
由已知得準線方程為x=-1,
∴$\frac{p}{2}$=1,∴p=2,
故所求的拋物線方程為y2=4x.
故答案為:y2=4x.

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、直線圓的位置關(guān)系,考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬中檔題.

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