【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過該橢圓的左頂點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓相交于不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)、，證明：動(dòng)直線恒過軸上一定點(diǎn).

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1)由三角形的面積可得.結(jié)合橢圓的定義可得，則..所求方程為.

（2)假設(shè)結(jié)論成立，定點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為，顯然.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為，的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，直線與軸相交于點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立有 ，，則 ，據(jù)此可得或，則直線恒過點(diǎn).詳解：（1)∵點(diǎn)在橢圓上，且的面積為，

∴，即.

∴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、.

∴，即：.

∴.

∴所求方程為.

（2)假設(shè)結(jié)論成立，定點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為，顯然.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸，此時(shí)直線的斜率為，

∴的方程為，代入化簡得：，

∴或，即此時(shí)直線與軸相交于點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，依題意，.

則的方程為，

代入并化簡得： ，

設(shè)、，

∴，.

又，

∴

∴，解之得或，

即直線恒過點(diǎn).

綜上所述，直線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是邊長為3的正方形，平面，，且，．　

（1）試在線段上確定一點(diǎn)的位置，使得平面；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐與三棱錐中，和都是邊長為2的等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，，．

（Ⅰ）試在平面內(nèi)作一條直線，當(dāng)時(shí)，均有平面（作出直線并證明）；

（Ⅱ）求兩棱錐體積之和的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)及函數(shù)（a，b，c∈R），若a>b>c且a+b+c=0.

（1）證明：f(x)的圖像與g(x)的圖像一定有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）請用反證法證明：；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列五個(gè)命題：

①函數(shù)f（x）=2a2x-1-1的圖象過定點(diǎn)（，-1）；

②已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x+1），若f（a）=-2則實(shí)數(shù)a=-1或2．

③若loga＞1，則a的取值范圍是（，1）；

④若對于任意x∈R都f（x）=f（4-x）成立，則f（x）圖象關(guān)于直線x=2對稱；

⑤對于函數(shù)f（x）=lnx，其定義域內(nèi)任意x1≠x2都滿足f（）≥

其中所有正確命題的序號是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市疾控中心流感監(jiān)測結(jié)果顯示，自年月起，該市流感活動(dòng)一度出現(xiàn)上升趨勢，尤其是月以來，呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢，截止目前流感病毒活動(dòng)度仍處于較高水平，為了預(yù)防感冒快速擴(kuò)散，某校醫(yī)務(wù)室采取積極方式，對感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù)．假設(shè)某班級已知位同學(xué)中有位同學(xué)被感染，需要通過化驗(yàn)血液來確定感染的同學(xué)，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性即為感染，呈陰性即未被感染．下面是兩種化驗(yàn)方法： 方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染同學(xué)為止；

方案乙：先任取個(gè)同學(xué)，將它們的血液混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性則表明感染同學(xué)為這位中的位，后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染同學(xué)為止；若結(jié)果呈陰性則在另外位同學(xué)中逐個(gè)檢測；

（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（2）表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，請從經(jīng)濟(jì)角度考慮那種化驗(yàn)方案最佳．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知△ABC的兩條高線所在直線方程為2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，頂點(diǎn)A(1,2)．

求(1)BC邊所在的直線方程；

(2)△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，．　

（1）證明：平面平面；

（2）若，為棱的中點(diǎn)，，，求四面體的體積．

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