Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+1．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=lnx+$\frac{af′（x）}{{x}^{3}-x}$在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍和函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），代入曲線的切線方程即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=x²-（a+2）x+1，只需h（x）在0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)有解即可，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可，解關(guān)于g（x）的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²+x，f′（1）=2，f（1）=$\frac{11}{6}$，
∴切線方程是：y-$\frac{11}{6}$=2（x-1），
即12x-6y-1=0；
（Ⅱ）g（x）=lnx+$\frac{af′（x）}{{x}^{3}-x}$=lnx+$\frac{a}{x-1}$，（x＞0），
g′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x²-（a+2）x+1，
若函數(shù)g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)有極值，
只需h（x）在0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)有解即可，
令h（x）=0，解得：x=$\frac{a+2±\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
而h（0）＞0，故h（x）=0的根為正數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△{=（a+2）}^{2}-4＞0}\\{\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：-2＜a＜-1或a＞$\frac{1}{2}$，
故a∈（-2，-1）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)有極值；
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$或x＜$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
令g′（x）＜0，解得：$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＜x＜$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
∴g（x）在（0，$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）遞增，在（$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）遞減，在（$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題．