平面內(nèi)動點
到點
的距離等于它到直線
的距離,記點
的軌跡為曲
.
(Ⅰ)求曲線
的方程;
(Ⅱ)若點
,
,
是
上的不同三點,且滿足
.證明:
不可能為直角三角形.
(1)
(2)利用向量的關系式來得到坐標關系式,然后借助于反證法來說明不成立。
試題分析:解法一:(Ⅰ)由條件可知,點
到點
的距離與到直線
的距離相等, 所以點
的軌跡是以
為焦點,
為準線的拋物線,其方程為
. 4分
(Ⅱ)假設
是直角三角形,不失一般性,設
,
,
,
,則由
,
,
,
所以
. 6分
因為
,
,
,
所以
. 8分
又因為
,所以
,
,
所以
. ①
又
,
所以
,即
. ② 10分
由①,②得
,所以
. ③
因為
.
所以方程③無解,從而
不可能是直角三角形. 12分
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)設
,
,
,由
,
得
,
. 6分
由條件的對稱性,欲證
不是直角三角形,只需證明
.
當
軸時,
,
,從而
,
,
即點
的坐標為
.
由于點
在
上,所以
,即
,
此時
,
,
,則
. 8分
當
與
軸不垂直時,
設直線
的方程為:
,代入
,
整理得:
,則
.
若
,則直線
的斜率為
,同理可得:
.
由
,得
,
,
.
由
,可得
.
從而
,
整理得:
,即
,①
.
所以方程①無解,從而
. 11分
綜合
,
,
不可能是直角三角形. 12分
點評:本小題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想等
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知點
到兩點
,
的距離之和等于4,設點
的軌跡為
,直線
與軌跡
交于
兩點.
(Ⅰ)寫出軌跡
的方程;
(Ⅱ)求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
過雙曲線
,
的左焦點
作圓
:
的兩條切線,切點為
,
,雙曲線左頂點為
,若
,則雙曲線的漸近線方程為 ( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
記橢圓
圍成的區(qū)域(含邊界)為Ω
n(n=1,2,…),當點(x,y)分別在Ω
1,Ω
2,…上時,x+y的最大值分別是M
1,M
2,…,則
M
n=( 。
A.0 | B. | C.2 | D.2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的焦距為4,且過點
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設
為橢圓
上一點,過點
作
軸的垂線,垂足為
。取點
,連接
,過點
作
的垂線交
軸于點
。點
是點
關于
軸的對稱點,作直線
,問這樣作出的直線
是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
雙曲線與橢圓
有相同焦點,且經(jīng)過點
,求其方程。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知三個數(shù)
構成一個等比數(shù)列,則圓錐曲線
的離心率為( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
拋物線
的準線方程是
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標系中,以坐標原點
為幾點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線
上兩點
的極坐標分別為
,圓
的參數(shù)方程
(
為參數(shù)).
(Ⅰ)設
為線段
的中點,求直線
的平面直角坐標方程;
(Ⅱ)判斷直線
與圓
的位置關系.
查看答案和解析>>