Question

如圖，AC是圓O的直徑，AC=10厘米，PA，PB是圓O的切線，A，B為切點(diǎn)，過(guò)A作AD⊥BP，交BP于D點(diǎn)，連接AB，BC．
（1）求證△ABC∽△ADB；
（2）若切線AP的長(zhǎng)為12厘米，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AC為⊙O的半徑，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根據(jù)切線的性質(zhì)知：∠ABD=∠ACB，從而可證：△ABC∽△ADB；
（2）在Rt△POA中，根據(jù)勾股定理可將OP的長(zhǎng)求出，再根據(jù)△ABC∽△PAO，可將AB的長(zhǎng)求出．

解答：證明：（1）∵AC是圓O的直徑
∴∠ABC=90°
∵AD⊥BP
∴∠ADB=90°∴∠ABC=∠ADB
∵PB是圓的切線
∴∠ABD=∠ACB
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB
∴△ABC∽△ADB．

（2）連接OP，在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米
∴OP=13厘米
∵PA，PB是圓O的切線，A，B為切點(diǎn)，過(guò)A作AD⊥BP，交BP于D點(diǎn)，連接AB，BC．
∴OP⊥AB，OP 平分AB，
∴△ABC∽△PAO
∴

AB

AC

=

AP

OP

∴

AB

10

=

12

13

∴AB=

120

13

厘米

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應(yīng)用．本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．