Question

8．設m，n∈R⁺，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，則mn的最小值是（　�。�

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$+3
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑建立關系（m-1）（n-1）=2，然后借助于基本不等式求解即可．

解答 解：由直線與圓相切可知|m+n|=$\sqrt{（m+1）^{2}+（n+1）^{2}}$，整理得（m-1）（n-1）=2，
∴m+n=mn-1≥2$\sqrt{mn}$，
∴$\sqrt{mn}$≥$\sqrt{2}$+1，
∴mn≥3+2$\sqrt{2}$
當且僅當m=n時等號成立，
∴mn的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題借助基本不等式考查點到直線的距離，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．