【題目】如圖,在長(zhǎng)方體中,、分別是棱,
上的點(diǎn),,
(1) 求異面直線與所成角的余弦值;
(2) 證明平面
(3) 求二面角的正弦值.
【答案】(1),(2)見(jiàn)解析(3)
【解析】
方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,
點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),依題意得,
,,
(1) 解:易得,
于是
所以異面直線與所成角的余弦值為
(2) 證明:已知,,
于是·=0,·=0.因此,,,又
所以平面
(3)解:設(shè)平面的法向量,則,即
不妨令X=1,可得.由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量.
于是,從而
所以二面角的正弦值為
方法二:(1)解:設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
鏈接B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角,易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為
(2)證明:連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)?/span>,所以,從而,又由于,所以,故AC⊥DE,又因?yàn)?/span>CC1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.
連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?/span>,所以AF⊥平面A1ED
(3)解:連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角
易知,所以,又所以,在
連接A1C1,A1F 在
.所以
所以二面角A1-DE-F正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)若,求 的最大值;
(Ⅲ)設(shè),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn) 共線,求k.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】冬天的北方室外溫度極低,若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上,可愛(ài)的醫(yī)務(wù)工作者行動(dòng)會(huì)更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作:從石墨中分離出石墨烯,制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法,使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有材料、材料供選擇,研究人員對(duì)附著在材料、材料上再結(jié)晶各做了50次試驗(yàn),得到如下等高條形圖.
(1)根據(jù)上面的等高條形圖,填寫(xiě)如下列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認(rèn)為試驗(yàn)成功與材料有關(guān)?
材料 | 材料 | 合計(jì) | |
成功 | |||
不成功 | |||
合計(jì) |
(2)研究人員得到石墨烯后,再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個(gè)環(huán)節(jié):①透明基底及膠層;②石墨烯層;③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為,第三個(gè)環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為,且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)1噸的石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬(wàn)元,若生產(chǎn)不合格還需進(jìn)行修復(fù),第三個(gè)環(huán)節(jié)的修復(fù)費(fèi)用為3000元,其余環(huán)節(jié)修復(fù)費(fèi)用均為1000元.如何定價(jià),才能實(shí)現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利可達(dá)1萬(wàn)元以上的目標(biāo)?
附:參考公式:,其中.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)選修4—4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線,直線:(為參數(shù)).
(I)寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
(II)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線,交于點(diǎn),的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,若{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn<.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2ax2+2bx,若存在實(shí)數(shù)x0∈(0,t),使得對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)a,b均有f(x0)=a+b成立,則t的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫(xiě)出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過(guò)點(diǎn)與曲線交于不同兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,且.
(1)若橢圓經(jīng)過(guò)圓的圓心,求橢圓的方程;
(2)在(1)的條件下,若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn),這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期,某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為( )
A. B. C. D.
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