Question

已知f(x)=

ex

x

，給定正的常數(shù)k，解不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0．

Answer 1

∵f(x)=

ex

x

，∴f′（x）=

(ex)′x-ex(x)′

x2

=

ex(x-1)

x2

，
不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0可化為，

ex(x-1)

x2

+k（1-x）

ex

x

＞0，即

ex(x-1)+k(1-x)xex

x2

＞0
變形得

ex(x-1)(1-kx)

x2

＞0，即

ex(x-1)(kx-1)

x2

＜0，
只需（x-1）（kx-1）＜0，對應(yīng)方程的兩根分別為1，

1

k

當(dāng)0＜k＜1時，1＜

1

k

，解得1＜x＜

1

k

；
當(dāng)k=1時，1=

1

k

，不等式無解；
當(dāng)k＞1時，1＞

1

k

，解得

1

k

＜x＜1．
故不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集為：
當(dāng)0＜k＜1時，{x|1＜x＜

1

k

}；
當(dāng)k=1時，空集；
當(dāng)k＞1時，{x|

1

k

＜x＜1}．