【題目】已知方程的曲線是圓.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的值;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn),過作圓的兩條切線、,切點(diǎn)分別為、,求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)(2)實(shí)數(shù)的值等于(3)四邊形面積的最小值為
【解析】
(1)圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解;
(2)聯(lián)立直線與圓方程,消元整理為一元二次方程,進(jìn)一步根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量垂直的充要條件,即可求解;
(3)為圓的半徑),要求四邊形面積的最小值,只需求出長(zhǎng)最小,即可求解.
(1)解:由,
得.
由解得.
所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2)解:聯(lián)立,
得.
由,解得.
設(shè),則,
,
且,
即.
因?yàn)?/span>,則得,
所以①
代入①得,
解得,符合題意.
所以所求實(shí)數(shù)的值等于.
(3)解法一:當(dāng)時(shí),圓的方程為,
即,所以圓的圓心坐標(biāo)是,半徑是.
由于、為圓的兩條切線,
所以.
又,
而的最小值為點(diǎn)到直線的距離.
因?yàn)?/span>,所以.
因此四邊形面積的最小值是.
解法二:當(dāng)時(shí),圓的方程是,
即,所以圓的圓心坐標(biāo)是,半徑是.
由于、為圓的兩條切線,
所以.
又.
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,即,
所以,即,
即,即.
當(dāng),時(shí),.
所以.
因此四邊形面積的最小值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為.
(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;
(Ⅱ)若過點(diǎn),延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)的斜率,若不能,說明理由.
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【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(diǎn).點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)求證:;
(3)求△F1MF2的面積.
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【題目】團(tuán)體購買公園門票,票價(jià)如下表:
購票人數(shù) | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
門票價(jià)格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
現(xiàn)某單位要組織其市場(chǎng)部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園,這兩個(gè)部門人數(shù)分別為a和b,若按部門作為團(tuán)體,選擇兩個(gè)不同的時(shí)間分別購票游覽公園,則共需支付門票費(fèi)為1290元;若兩個(gè)部門合在一起作為一個(gè)團(tuán)體,同一時(shí)間購票游覽公園,則需支付門票費(fèi)為990元,那么這兩個(gè)部門的人數(shù)____;____.
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【題目】有一塊半徑為,圓心角為的扇形鋼板,需要將它截成一塊矩形鋼板,分別按圖1和圖2兩種方案截取(其中方案二中的矩形關(guān)于扇形的對(duì)稱軸對(duì)稱).
圖1:方案一 圖2:方案二
(1)求按照方案一截得的矩形鋼板面積的最大值;
(2)若方案二中截得的矩形為正方形,求此正方形的面積;
(3)若要使截得的鋼板面積盡可能大,應(yīng)選擇方案一還是方案二?請(qǐng)說明理由,并求矩形鋼板面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的極值;
(2)證明:時(shí),
(3)若函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn),分別記為,設(shè)且的最大值是,證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn),分別是橢園C:的左、右焦點(diǎn),且橢圓C上的點(diǎn)到的距離的最小值為,點(diǎn)M,N是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn),且向量與向量平行.
求橢圓C的方程;
當(dāng)時(shí),求的面積;
當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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【題目】已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過點(diǎn)M(4,1),N(2,2).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn),且點(diǎn)M到直線l的距離為,求直線l的方程.
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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)E到點(diǎn)A(2,0)與點(diǎn)B(-2,0)的直線斜率之積為-,點(diǎn)E的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)D(l,0)作直線l與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),且=-.求直線l的方程.
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