Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是的f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）對(duì)滿(mǎn)足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)a=-m²，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

（Ⅰ）由題意g（x）=3x²-ax+3a-5
令φ（x）=（3-x）a+3x²-5，-1≤a≤1
對(duì)-1≤a≤1，恒有g(shù)（x）＜0，即φ（a）＜0
∴

φ(1)＜0 φ(-1)＜0

即

3x2-x-2＜0 3x2+x-8＜0

解得-

2

3

＜x＜1
故x∈(-

2

3

，1)時(shí)，對(duì)滿(mǎn)足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3m²
①當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x³-1的圖象與直線(xiàn)y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)
②當(dāng)m≠0時(shí)，f（x）_極小=f（|x|）=-2m²|m|-1＜-1
又∵f（x）的值域是R，且在（|m|，+∞）上單調(diào)遞增
∴當(dāng)x＞|m|時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)x＜|m|時(shí)，恒有f（x）≤f（-|m|）
由題意得f（-|m|）＜3
即2m²|m|-1=2|m|³-1＜3
解得m∈(-

3	2

，0)∪(0，

3	2

)
綜上，m的取值范圍是(-

3	2

，

3	2

)