Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）e^-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設函數(shù)φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x，存在x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出f′(x)=-

x

ex

，得當x＜0時，f'（x）＞0，當x＞0時，f'（x）＜0．從而有f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）假設存在x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，則2[φ（x）]_min＜[φ（x）]_max．∴φ′(x)=

-x2+(1+t)x+t

ex

=-

(x-t)(x-1)

ex

，
分別討論①當t≥1時，②當t≤0時，③當0＜t＜1時的情況，從而求出t的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)的定義域為R，f′(x)=-

x

ex

，
∴當x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）假設存在x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，
則2[φ（x）]_min＜[φ（x）]_max．
∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=

x2+(1-t)x+1

ex

，
∴φ′（x）=

-[x2-(1+t)x+t]

ex

=-

(x-t)(x-1)

ex

，
①當t≥1時，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3-

e

2

＞1；
②當t≤0時，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0；
③當0＜t＜1時，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上單調(diào)遞減
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上單調(diào)遞增
所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，
即2

t+1

et

＜max{1，

3-t

e

}--（*）
由（Ⅰ）知，g(t)=2

t+1

et

在[0，1]上單調(diào)遞減，
故

4

e

≤2

t+1

et

≤2，
而

2

e

≤

3-t

e

≤

3

e

，所以不等式（*）無解
綜上所述，存在t∈(-∞，3-2e)∪(3-

e

2

，+∞)，使得命題成立．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，參數(shù)的求法，導數(shù)的應用，是一道綜合題．