【題目】(2015·陜西)設fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2...,xn的各項和,其中x>0,nN, ,n≥2,
(1)證明:函數(shù)Fn(x)=fn(x)-2在(,1)內(nèi)有且僅有一個零點(記為xn),且xn=+xnn+1;
(2)設有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項和為gn(x),比較fn(x)與gn(x)的大小,并加以證明.

【答案】
(1)

見解析。


(2)

見解析。


【解析】(I)Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+...+xn-2則Fn(1)=n-1>0
Fn)=1++()2+...+()n-2=
所以Fn(x)在(,1)內(nèi)至少存在一個零點xn.
又Fn'(x)=1+2x+...+nxn-1>0,故在(,1)內(nèi)單調(diào)遞增,
所以Fn(x)在(,1內(nèi)有且僅有一個零點xn.
因為xn是Fn(x)的零點,所以Fn(xn)=0,即-2=0,故xn=+xnn+1.
(II)解法一:由題設,gn(x)=
設h(x)= fn(x)-gn(x)=1+x+x2+...+xn-,
x>0, 當x=1時, fn(x)=gn(x)
當x≠1時, h'(x)=1+2x+...nxn-1-
若0<x<1,h'(x)>xn-1+2xn-1+...+nxn-1-=-=0
若x>1,h'(x)<xn-1+2xn-1+...+nxn-1-=-=0
所以h(x)在(0,1)上遞增,在(1,+)上遞減,
所以h(x)<h(1)=0,即fn(x)<gn(x)
綜上所述,當x=1時, fn(x)=gn(x);當x≠1時fn(x)<gn(x)
解法二 由題設, fn(x)=1+x+x2+...+xn, gn(x)=, x>0
當x=1時, fn(x)=gn(x)
當x≠1時, 用數(shù)學歸納法可以證明fn(x)<gn(x).
當n=2時, f2(x)-g2(x)=-(1-x)2<0所以f2(x)<g2(x)成立.
假設n=k(k≥2)時,不等式成立,即fk(x)<gk(x)
那么,當n=k+1時,
.fk+1(x)=fk(x)+xk+1<gk(x)+xk+1=+xk+1=
又gk+1(x)-=
令fk(x)=kxk+1-(k+1)xk , +1(x>0), 則hk'(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1(x-1)
所以當0<x<1,hk'(x)<0, hk'(x)在(0,1)上遞減;
當x>1,hk'(x)>0,hk(x)在(1,+)上遞增.
所以hk(x)>hk(1)=0,從而gk+1(x)>
故fk+1(x)<gk+1(x).即n=k+1,不等式也成立.
所以,對于一切n≥2的整數(shù),都有.fn(x)<gn(x)
解法三:由已知,記等差數(shù)列為{ak}, 等比數(shù)列為,則,,{bk} k=1,2,...,n+1, 則a1=b1=1, an+1=bn+1=xn
所以,ak=1+(k-1)-(2≤k≤n), bk=xk-1(2≤k≤n)
令mk(x)=ak-bk=1+-xk-1(2≤k≤n).
當x=1時, ak=bk,所以fn(x)=gn(x)
當x≠1時, mk'(x)=nxn-1-(k-1)xk-2=(k-1)xk-2(xn-k+1-1)
而2≤k≤n,,所以k-1>0,n-k+1≥1.
若0<x<1 , xn-k+1<1, mk'(x)<0
當x>1, ,,, xn-k+1>1,mk'(x)>0
從而mk(x)在(0,1)上遞減,mk(x)在(1,+)上遞增.所以,mk(x)>mk(1)=0
所以當x>0又a1=b1),an+1=bn+1 , 故fn(x)<gn(x)
綜上所述,當x=1時, fn(x)=gn(x);當x≠1時fn(x)<gn(x)。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數(shù)列的前n項和公式的相關知識,掌握前項和公式:

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(1)求的單調(diào)區(qū)間
(2)設曲線軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為 ,求證:對于任意的正實數(shù) ,都有 ;
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A.
B.
C.
D.π(4-h2)

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