Question

（1）設實數(shù)t＞0，求證：（1+

2

t

）ln（1+t）＞2
（2）從編號1到100的100張卡片中，每次隨機地抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽20次，設抽得的20個號碼各不相同的概率為p，求證：ρ＜

1

e2

．

Answer 1

考點：不等式的證明,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,概率與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）原問題等價于證ln(1+t)＞

2t

2+t

=2-

4

2+t

，構造函數(shù)f(x)=ln(1+x)+

4

x+2

-2(x＞0)，只須證明f（x）在[0，+∞）上是單調增函數(shù)即可．先對函數(shù)進行求導，根據(jù)導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞減即可得到答案．
（2）由已知條件得p=

100×99×98×…×81

10020

，即證明99×98×…×81＜（90）¹⁹，證明19ln

10

9

＞2，即(

10

9

)19＞e2而這個結論由（1）所得結論可得．

解答： 證明：（1）已知實數(shù)t＞0，原問題等價于證ln(1+t)＞

2t

2+t

=2-

4

2+t

構造函數(shù)f(x)=ln(1+x)+

4

x+2

-2(x＞0)，
f′(x)=

1

1+x

-

4

(x+2)2

=

x2

(1+x)(x+2)2

≥0，
已知x＞0，且f（0）=0，
故f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
于是f（x）＞0（x＞0），即原命題成立；5-6分
（2）由已知條件得p=

100×99×98×…×81

10020

，
注意到99×81＜90²，98×82＜90²，…，91×89＜90²，
于是p＜

902×902×902×…×902×90

1038

=(

9

10

)19
在（1）的結論中令t=

1

9

，得19ln

10

9

＞2，即(

10

9

)19＞e2
即p＜(

9

10

)19＜

1

e2

，即p＜

1

e2

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系等，考查運算求解能力，函數(shù)、導數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識．通過運用導數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題，考查了考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．