Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，x∈R．
（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系求解：（2）f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增⇒f′（x）≥0上[0，2]恒成立．

解答 解：（Ⅰ）由 k=e得f（x）=e^x-ex，所以 f′（x）=e^x-e．…2分
        令f′（x）=0 解得 x=1，
 f′（x）與f（x）的關(guān)系如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	_	0	+
f（x）	單減		單增

故單調(diào)減區(qū)間為：（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間為：（1，+∞）…..6分
       當(dāng) x=1時(shí)f（x） 取得極小值為 f（1）=0…..8分
（Ⅱ）若 f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則有
在 f′（x）=e^x-k≥0上[0，2]恒成立，即 k≤e^x，…．…..10分
而 e^x在[0，2]上的最小值為 1，
故 k≤1…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值，考查了已知單調(diào)性求參數(shù)問題．