【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角形,平面PAC⊥平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.

1)設(shè)G,H分別為PBAC的中點,求證:GH//平面PAD

2)求證:⊥平面PCD;

3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3

【解析】

1)要證明線面平行,轉(zhuǎn)化為證明線線平行,連結(jié),由題意得,利用中位線證明;

2)要證明線面垂直,根據(jù)判斷定理可知需垂直于平面內(nèi)的兩條直線,利用面面垂直的性質(zhì)定理,取棱中點,連結(jié),再證明;

3)連結(jié),由平面,知是直線與平面所成角,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.

1)連結(jié),由題意得,

又由,得,

平面平面,

平面

2)取棱中點,連結(jié),

依題意得,

平面平面,平面平面,

平面

平面,,

,

平面

3)連結(jié),由(2)中平面,

是直線與平面所成角,

是等邊三角形,,且中點,

,又

中,

直線與平面所成角的正弦值為

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(2)現(xiàn)從成績在內(nèi)的學(xué)生中任選出兩名同學(xué),從成績在內(nèi)的學(xué)生中任選一名同學(xué),共三名同學(xué)參加學(xué)習(xí)習(xí)慣問卷調(diào)查活動.若同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?3分,同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>分,求兩同學(xué)恰好都被選出的概率.

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