Question

20．設(shè)直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$相交于A，B兩點(diǎn)，與圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{6}$）
• B． （2，$\sqrt{7}$）
• C． （2，$\sqrt{6}$）
• D． （1，$\sqrt{7}$）

Answer 1

分析 先確定M的軌跡是直線x=2，代入橢圓方程，得y²=6，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
代入橢圓方程相減，整理得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)差法可得2ky₀=-x₀，
因?yàn)橹本�與圓相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=2，
即M的軌跡是直線x=2．
將x=2代入橢圓方程，得y²=6，
∴-$\sqrt{6}$＜y₀＜$\sqrt{6}$，
∵M(jìn)在圓上，
∴（x₀-1）²+y₀²=r²，
∴r²=y₀²+1≤7，
∵直線l恰有4條，
∴y₀≠0，
∴1＜r²＜7，
故1＜r＜$\sqrt{7}$時(shí)，直線l有2條；
斜率不存在時(shí)，直線l有2條；
所以直線l恰有4條，1＜r＜$\sqrt{7}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓、圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．