Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：2S_n=a_n²+a_n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2an

(2an-1)(2an+1-1)

+（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）當(dāng)n=1時(shí)，求出a₁=1，2Sn=an2+an，2Sn+1=an+12+an+1兩式相減得：a_n+1-a_n=1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由（Ⅰ）得bn=

2n

(2n-1) (2n+1-1)

+(-1)nn，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和．

解答： 解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁＞0，
所以2a1=a12+a1⇒a1=1，
又2Sn=an2+an，2Sn+1=an+12+an+1，
兩式相減得：a_n+1-a_n=1，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n…（6分）
（II）由（Ⅰ）得bn=

2n

(2n-1) (2n+1-1)

+(-1)nn，
記數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和為T_2n，
則T2n=

2n

k=1

2k

(2k-1) (2k+1-1)

+(-1+2-3+4-…+2n)
記A=

2n

k=1

2k

(2k-1) (2k+1-1)

， B=-1+2-3+4-…+2n，
A=

2n

k=1

(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)=1-

1

22n+1-1

，

A= 2(1-22n) 1=2 =22n+1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.

故數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和：
T2n=A+B=22n+1+n-2n+1-

1

22n+1-1

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．