Question

函數(shù)f（x）的定義域為D，若滿足①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[-b，-a]，那么y=f（x）叫做對稱函數(shù)，現(xiàn)有f（x）=

2-x

-k是對稱函數(shù)，那么k的取值范圍是

[2，

9

4

)

．

Answer 1

分析：函數(shù)f(x)=

2-x

-k 在定義域（-∞，2]上是減函數(shù)，由②可得 f（a）=-a，f（b）=-b，由此推出 a和 b 是方程

2-x

-k=-x在（-∞，2]上的兩個根．利用換元法，轉(zhuǎn)化為∴k=-t²+t+2=-（t-

1

2

）²+

9

4

在[0，+∞）有兩個不同實根，解此不等式求得 k 的范圍即為所求．

解答：解：由于f(x)=

2-x

-k在（-∞，2]上是減函數(shù)，故滿足①，
又f（x）在[a，b]上的值域為[-b，-a]，
∴所以

2-a -k=-a 2-b -k=-b

⇒a和 b 是關(guān)于x的方程

2-x

-k=-x在（-∞，2]上有兩個不同實根．
令t=

2-x

，則x=2-t²，t≥0，
∴k=-t²+t+2=-（t-

1

2

）²+

9

4

，
∴k的取值范圍是k∈[2，

9

4

)，
故答案為：[2，

9

4

)．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，得到a和 b 是方程

2-x

-k=-x在（-∞，2]上的兩個根，是解題的難點，屬中檔題．