Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁且傾斜角為45°的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)（　�。�

• A． （-$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{5}$）
• B． （1，-1）
• C． （-1，$\frac{2}{5}$）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 求出直線方程，聯(lián)立方程組，消去x或y，利用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
左焦點(diǎn)F₁（-1，0），
那么：過(guò)F₁且傾斜角為45°的直線l為y=x+1，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，消去y得：5x²+6x-3=0，消去x得：5y²-4y-4=0
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6}{5}$，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4}{5}$，
那么：$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}=-\frac{3}{5}$，$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{2}=\frac{2}{5}$
AB的中點(diǎn)坐標(biāo)位（$-\frac{3}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與直線的關(guān)系的運(yùn)用能力和化簡(jiǎn)能力，利用了韋達(dá)定理求解比較方便．本題也可以直接求解A，B的坐標(biāo)來(lái)求中點(diǎn)坐標(biāo)．屬于基礎(chǔ)題．