Question

（2012•貴州模擬）給出下列四個命題：
（1）命題“若α=

π

4

，則tanα=1”的逆否命題為假命題；
（2）命題p：?x∈R，sinx≤1．則￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1；
（3）“φ=

π

2

+kπ(k∈Z)”是“函數(shù)y=sin（2x+?）為偶函數(shù)”的充要條件；
（4）命題p：“?x₀∈R，使sinx0+cosx0=

3

2

”；命題q：“若sinα＞sinβ，則α＞β”，那么（￢p）∧q為真命題．
其中正確的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）先判斷原命題的真假，利用原命題與逆否命題的等價性即可判斷出；
（2）利用命題p與￢p的關(guān)系即可判斷出；
（3）利用偶函數(shù)的定義及三角函數(shù)的最值即可判斷出；
（4）先判斷命題p、q真假，進而即可判斷（￢p）∧q真假．

解答：解：（1）∵命題“若α=

π

4

，則tanα=1”是真命題，所以其逆否命題亦為真命題，因此（1）不正確；
（2）根據(jù)“命題p：?x∈R，p（x）成立”的￢p為“?x₀∈R，p（x）的反面成立”，可知正確．
（3）當(dāng)φ=

π

2

+kπ(k∈Z)時，則函數(shù)y=sin（2x+φ）=sin（2x+

π

2

+kπ）=±cos2x為偶函數(shù)；
反之也成立．故“φ=

π

2

+kπ(k∈Z)”是“函數(shù)y=sin（2x+?）為偶函數(shù)”的充要條件；
（4）∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，故不存在x₀使sinx0+cosx0=

3

2

成立，
∴命題p是假命題，￢p是真命題；
對于命題q：取α=

π

2

，β=π，雖然sin

π

2

=1＞0=sinπ，但是α＜β，故命題q是假命題．
∴（￢p）∧q為假命題，因此（4）不正確．
綜上可知：真命題的個數(shù)2．
故選B．

點評：熟練掌握命題間的關(guān)系、p與￢p、三角函數(shù)的奇偶性、有界性和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．