已知實(shí)數(shù)a滿足1<a≤2,設(shè)函數(shù)f (x)=x3x2+a x.
(Ⅰ) 當(dāng)a=2時,求f (x)的極小值;
(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x  (b∈R) 的極小值點(diǎn)與f (x)的極小值點(diǎn)相同,
求證:g(x)的極大值小于或等于10.

(Ⅰ) 極小值為f (2)= (Ⅱ)證明如下

解析試題分析:(Ⅰ)解:當(dāng)a=2時,f ′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).
列表如下:

x
(-,1)
1
(1,2)
2
(2,+)
f ′(x)

0

0

f (x)
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以,f (x)的極小值為f (2)=.              
(Ⅱ) 解:f ′ (x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
由于a>1,所以f (x)的極小值點(diǎn)x=a,則g(x)的極小值點(diǎn)也為x=a.
而g′ (x)=12x2+6bx-6(b+2)=6(x-1)(2x+b+2),所以
即b=-2(a+1).
又因為1<a≤2,所以  g(x)極大值=g(1)=4+3b-6(b+2)=-3b-8=6a-2≤10.
故g(x)的極大值小于或等于10.        
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
點(diǎn)評:導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時,判斷函數(shù)是否有極值;
(Ⅱ)若時,總是區(qū)間上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=2x--aln(x+1),a∈R.
(1)若a=-4,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求y=f(x)的極值點(diǎn)(即函數(shù)取到極值時點(diǎn)的橫坐標(biāo)).

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已知函數(shù)處取得極值.
(1)求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若當(dāng)時恒有成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

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已知函數(shù)=,
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)若關(guān)于的不等式對一切(其中)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正實(shí)數(shù),使?若不存在,說明理由;若存在,求取值的范圍

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已知函數(shù)
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù)處取得極值.
(1)求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若當(dāng)時恒有成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

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已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù).
(Ⅰ) 若處取得的極值為,求的值;
(Ⅱ)若在區(qū)間上為減函數(shù),且,求的取值范圍.

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已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)a=﹣2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若g(x)= +1,+∞)上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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