Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面底面，且，，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）連接.因?yàn)榈酌?/span>是平行四邊形，則是的中點(diǎn)，又因是的中點(diǎn)，則有，然后利用線面平行的判定定理證明.

（2）在中，因?yàn)?/span>，則，有.，再根據(jù)側(cè)面底面，可得平面，再利用面面垂直的判定定理證明.

（3）取中點(diǎn)為，連接.根據(jù)，則 ，由側(cè)面底面，則平面，即點(diǎn)P到面ABCD的距離為，然后根據(jù)等體積法求解.

（1）如圖，

連接.因?yàn)榈酌?/span>是平行四邊形，且是的中點(diǎn)，所以也是的中點(diǎn).又因是的中點(diǎn)，

所以.因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）在中，因?yàn)?/span>，

所以，則.

又因?yàn)閭?cè)面底面，交線為，而平面，

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（3）取中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)閭?cè)面底面，交線為，

所以平面.

因?yàn)?/span>，，

所以，

所以.

所以，所以三棱錐的體積

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