【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;
(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí),求線段BQ的長(zhǎng).
【答案】
(1)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建系A(chǔ)﹣xyz如圖,
由題可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
∵AD⊥平面PAB,∴ =(0,2,0),是平面PAB的一個(gè)法向量,
∵ =(1,1,﹣2), =(0,2,﹣2),
設(shè)平面PCD的法向量為 =(x,y,z),
由 ,得 ,
取y=1,得 =(1,1,1),
∴cos< , >= = ,
∴平面PAB與平面PCD所成兩面角的余弦值為
(2)解:∵ =(﹣1,0,2),設(shè) =λ =(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),
又 =(0,﹣1,0),則 = + =(﹣λ,﹣1,2λ),
又 =(0,﹣2,2),從而cos< , >= = ,
設(shè)1+2λ=t,t∈[1,3],
則cos2< , >= = ≤ ,
當(dāng)且僅當(dāng)t= ,即λ= 時(shí),|cos< , >|的最大值為 ,
因?yàn)閥=cosx在(0, )上是減函數(shù),此時(shí)直線CQ與DP所成角取得最小值.
又∵BP= = ,∴BQ= BP=
【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建系A(chǔ)﹣xyz.(1)所求值即為平面PAB的一個(gè)法向量與平面PCD的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值,計(jì)算即可;(2)利用換元法可得cos2< , >≤ ,結(jié)合函數(shù)y=cosx在(0, )上的單調(diào)性,計(jì)算即得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=cosx(asinx﹣cosx)+cos2( ﹣x)滿足f(﹣ )=f(0).
(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且 = ,求f(A)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+12+an2< ,n∈N* , Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若a2= ,a3=x,a4=4,求x的取值范圍;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,若 <Sn+1<2Sn , n∈N* , 求q的取值范圍;
(3)若a1 , a2 , …,ak(k≥3)成等差數(shù)列,且a1+a2+…+ak=120,求正整數(shù)k的最小值,以及k取最小值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1 , a2 , …,ak .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn , 且an= (n∈N*). (Ⅰ)若數(shù)列{an+t}是等比數(shù)列,求t的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)記bn= + ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 =2(cosωx,cosωx), =(cosωx, sinωx)(其中0<ω<1),函數(shù)f(x)= ,
(1)若直線x= 是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,先列表再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣π,π]上的圖象.
(2)求函數(shù)y=f(x),x∈[﹣π,π]的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知ω>0,0<φ<π,直線x= 和x= 是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸,則
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè)h(x)=f(x)+ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子中裝有4個(gè)編號(hào)依次為1、2、3、4的球,這4個(gè)球除號(hào)碼外完全相同,先從盒子中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為X,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為Y
(1)列出所有可能結(jié)果.
(2)求事件A=“取出球的號(hào)碼之和小于4”的概率.
(3)求事件B=“編號(hào)X<Y”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x3+3x2﹣12x+5. (Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,5)處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值.
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