【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;
(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí),求線段BQ的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建系A(chǔ)﹣xyz如圖,

由題可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

∵AD⊥平面PAB,∴ =(0,2,0),是平面PAB的一個(gè)法向量,

=(1,1,﹣2), =(0,2,﹣2),

設(shè)平面PCD的法向量為 =(x,y,z),

,得 ,

取y=1,得 =(1,1,1),

∴cos< , >= = ,

∴平面PAB與平面PCD所成兩面角的余弦值為


(2)解:∵ =(﹣1,0,2),設(shè) =(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),

=(0,﹣1,0),則 = + =(﹣λ,﹣1,2λ),

=(0,﹣2,2),從而cos< , >= = ,

設(shè)1+2λ=t,t∈[1,3],

則cos2 , >= =

當(dāng)且僅當(dāng)t= ,即λ= 時(shí),|cos< , >|的最大值為 ,

因?yàn)閥=cosx在(0, )上是減函數(shù),此時(shí)直線CQ與DP所成角取得最小值.

又∵BP= = ,∴BQ= BP=


【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建系A(chǔ)﹣xyz.(1)所求值即為平面PAB的一個(gè)法向量與平面PCD的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值,計(jì)算即可;(2)利用換元法可得cos2 >≤ ,結(jié)合函數(shù)y=cosx在(0, )上的單調(diào)性,計(jì)算即得結(jié)論.

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